선형 대수학 | Chapter 2. 벡터, 파트2 : 벡터의 확장 개념

 

2.1 벡터 집합

집합 : 벡터들의 모음

 

2.2 선형 가중 결합

▶ 선형 가중 결합

: 여러 변수마다 가중치를 다르게 주어 정보를 혼합하는 방법.

선형 혼합 또는 가중 결합이라고도 함. 가중 대신 계수라는 용어를 사용하기도 함.

$w = \gamma_{1}v_{1} + \gamma_{2}v_{2} + ... + \gamma_{n}v_{n}$

 

이 때 벡터의 차원은 모두 같다고 가정함.

 

2.3 선형 독립성

벡터 집합의 속성임.

$0 = \gamma_{1}v_{1} + \gamma_{2}v_{2} + ... + \gamma_{n}v_{n}, \;\gamma\in\mathbb{R}$

 

▶ 선형 종속성

: 적어도 하나의 벡터가 집합 내의 다르나 벡터들의 선형 가중 결합으로 나타낼 수 있는 경우의 벡터 집합 상태

- 선형 종속적이라면 집합의 벡터들의 선형 가중 결합으로 영벡터를 만들 수 있음.

- 영벡터는 항상 선형 종송성의 정의를 만족함. 영벡터에 어떤 스칼라를 곱해도 영벡터가 나옴.

- 따라서 적어도 하나의 $\gamma ≠ 0$인 자명하지 않은 해가 존재한다면 그 집합은 선형 종속성 정의에 부합함.

▶ 선형 독립성

: 하나의 벡터를 다른 벡터들의 조합으로 나타낼 수 없는 경우의 벡터 집합 상태

- 선형 독립적이라면 벡터를 선형적으로 결합해서 영벡터를 생성할 수 있는 방법이 없음.

 

2.4 부분공간과 생성

- 부분공간은 덧셈과 스칼라 곱셈으로 닫혀 있는 부분집합으로 원점을 포함하는 것.

즉, 부분공간에 존재하는 벡터들의 선형 가중 결합 또한 동일한 부분공간에 반드시 존재함. 

(유한한) 벡터 집합의 동일한 벡터들에 다른 가중치 숫자를 사용해 무한히 선형 결합하는 방식으로 만들어짐.

즉, 벡터 집합의 모든 가능한 선형 결합을 통해서 벡터 부분공간이 생성됨.

벡터 집합으로 생성된 결과.  명사 같은 것.

- 생성은 가능한 모든 선형 결합을 구성하는 메커니즘. 동사 같은 것.

 

▶ 생성 부분공간의 차원과 집합의 벡터 수 사이의 관계

벡터 집합에서 생성되는 부분공간의 차원은 선형 독립 집합을 형성하는 데 필요한 최소한의 벡터 수임.

- 벡터 집합이 선형 독립적이면 해당 집합의 벡터들로 생성된 부분공간의 차원은 집합의 벡터 수와 동일함.

- 벡터 집합이 선형 종속적이면 해당 집합의 벡터들로 생성된 부분공간의 차원은 반드시 해당 집합의 벡터 수보다 작음.

 

2.5 기저

기저는 행렬의 정보(ex. 데이터)를 설명하는 데 사용하는 자(ruler)의 집합

동일한 데이터를 다양한 자로 설명할 수 있지만 일부 자는 특정 문제를 푸는 데 다른 자보다 편리함.

대표적인 기저로는 '데카르트 좌표계'가 있음. 

데카르트 기저 집합은 서로 직교하고, 단위 길이인 벡터로 이루어져 있음. 표준 기저 집합이라고 부름.

선형대수학의 많은 문제는 어떤 부분공간에 대한 최적의 기저벡터 집합을 찾는 것임.

 

▶ 기저의 정의

벡터 집합이 1) 특정 부분공간을 생성하고 2) 독립적인 ㅂ게터 집합이라면 해당 부분공간의 기저임.

기저 집합은 선형 독립이어야 함. 부분공간에 있는 모든 벡터는 그 기저를 이용한 고유한 좌표를 가져야 하기 때문임.